Robben nació el 23 de enero de 1984 en Bedum (una de las ciudades satelitales más grandes de Gronigen) en la parte noreste de los Países Bajos. Sus padres fueron Hans Robben y Marjo Robben. Es muy cercano a su padre, que actúa como su gerente y agente. Su padre también se ocupa de todas sus negociaciones y de los contratos que firma.

Estudió en la escuela técnica secundaria y se interesó en el fútbol desde muy temprana edad, por lo que sus padres lo inscribieron en la mejor escuela de fútbol de la localidad. Argen se convirtió en el niño más pequeño en dominar la técnica de entrenamiento Coerver.

Sus increíbles habilidades con el balón y su talento hizo que lo seleccionaran para las categorías inferiores del FC Groningen a la edad de 8 años.